공증과 마치의 이상적인 비율분석
공증과 마치를 얼마나 올려야 하나? 공증이 중요한가? 마치가 중요한가?
둘의 딜링 메커니즘은 비슷 해서 항상 고민거리였죠
도움이 될진모르겠지만 분석을 해보도록하겠습니다. (수학을 잘모르시는분은 빨간글만보시길..)
1. 공증, 마치의 개념
공증 : 현재 데미지를 늘려줌 공격력증가10당 1%
ex) 공증100이면 데미지 10%증가
마치 : 데미지가 2배가 되는 확률 마법치명10당 확률1% (마치가 데미지를 올려주진않고 확률만올려줌)
ex) 마치100이면 데미지2배일 확률10%
2. 공증과 마치의 가치
만약에 기본데미지(공증0일때)가 100만이었을때 공격력증가가 100올라간다면 데미지는 10%증가합니다.
데미지가 1.1배되어서 110만이 되는것이죠
만약에 기본데미지(마치0일때)가 100만이었을때 마치가 100올라간다면 데미지의 기댓값은
1.1배가 되어서 110만입니다. (100만*0.9 + 200만*0.1 = 110만 이므로..)
데미지의 기댓값(평균값,누적데미지)으로만 봤을때 공증과 마치의 가치는 같습니다(공증1=마치1)
3. 공증과 마치가 둘다 있을 때
공증0마치0일때 기본데미지가 A
공증이 x이면 데미지는 A(1+x/1000)가 됩니다.
마치가 y이면 데미지(기댓값)은 A(1+y/1000)이 됩니다.
공증만 있거나 마치만 있는 경우는 거의 없으므로 공증과 마치가 둘다있는 경우가 중요합니다.
즉, 공증이 x 마치가 y인 경우는 데미지(기댓값)가 A(1+x/1000)(1+y/1000)입니다.
4. 공증 마치의 이상적 비율
공증과 마치의 합이 일정하다고 가정했을 때 가장 데미지의 기댓값이 쎈 비율을 찾아보겠습니다.
(예를들어, x+y=1000일 때 가장 데미지를 잘 뽑는 x와 y의 값을 구하는 것이 목표)
일단, x+y=n이라고 가정하겠습니다. (n은 2이상의 임의의 자연수입니다.)
3에서 봤던 데미지 기댓값 식을 다시 써보면 A(1+x/1000)(1+y/1000)입니다.
A는 기본 데미지 값이어서 공증 마치와 무관하므로 빼버리도록 하고 (1+x/1000)(1+y/1000)만 다루겠습니다.
z=(1+x/1000)(1+y/1000)라고하면 z의 최댓값을 구하는 것이 목표입니다.
z=1+x/1000+y/1000+xy/1000000
z=1+(x+y)/1000+xy/1000000=1+n/1000+xy/1000000
위의 식에서 1+n/1000인 부분은 n이 이미 정해진 값이므로 그냥 상수라고 볼 수 있습니다.
따라서 z의 크기는 xy의 값에 의해 정해집니다.
xy는 T=xy=x(n-x)=nx-x^2이므로 위로볼록한 2차함수 입니다.
즉, 최댓값이 존재한다는 말입니다.
T=nx-x^2을 x에 대해 미분하면 dT/dx = n-2x이고 미분값이 0이되는 순간이 최댓값입니다.
계산하면 n-2x = 0 이므로 x=n/2가 나오게 됩니다. x=n/2이면 x+y=n이므로 x=y=n/2입니다.
위의 계산결과, 결론은 공증과 마치 수치가 같을 때 데미지 기댓값이 최대라는 것입니다.
위의 결과로 예를 몇개 들어보겠습니다.
공증+마치 합이 1000일 때 데미지 최대가 나오는 비율은?
공증100마치900(공증900마치100)이면 1.1*1.9=2.09
공증300마치700(공증700마치300)이면 1.3*1.7=2.21
공증500마치500이면 1.5*1.5=2.25 -> 최대!
+응용
공증=마치가 될 수록 데미지 기댓값이 높다는 것을 알아봤습니다.
이 현상을 응용하면 공증과 마치 둘 중에 한쪽이 클 경우
큰쪽을 내리고 작은쪽을 올리면 기댓값이 더 커집니다.
예를들어서 현재 공증200 마치800에서 하나는 50올리고 하나는 50내릴때 어떤 것이 더 셀까요?
즉, 공증250마치750, 공증150마치850 (둘다 합은 1000)
둘중에 어떤 것이 더 데미지기댓값이 쎈지 확인해보면
1.25*1.75 > 1.15*1.85 이기 때문에 공증250마치750이 더 쎕니다.
굳이 계산을 하지 않아도 공증250마치750이 공증150마치850보다 수치 차이가 적기 때문에 공증과 마치가 같은 경향이 더 크므로 공증250마치750이 더쎈겁니다.
결론, 공증과 마치가 가까울수록 데미지기댓값높아짐 (공증=마치일때가 최대)
응용의 증명(이건 보실분만보세요)
x < y 일 때 (단, x+y=n)
z=(1+x/1000)(1+y/1000)
한 부분에는 a를 더하고 한 부분에는 a를 뺐을 때 어떤 z값이 더 클까? (a>0)
첫번째 경우) x+a, y-a
z = (1+(x+a)/1000)(1+(y-a)/1000)= 1+(x+y)/1000 + (xy-ax+ay-a^2)/1000000
1+(x+y)/1000+(xy-a^2)/1000000 부분은 상수이므로 k라고 둠
z = k + a(y-x)/1000000
두번째 경우) x-a, y+a
같은 방식으로
z = k + a(x-y)/1000000
x<y이므로 x-y<0이다. 따라서, 첫번째 z가 두번째 z보다 크다.
즉, 큰쪽을 내리고 작은쪽을 올리는 것이 데미지에 더 좋다.
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